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最近在研究贝叶斯神经网络，一些概念一直搞不清楚，这里整理一下相关内容，方便以后查阅。

贝叶斯神经网络（Bayesian Neural Network）

贝叶斯神经网络（Bayesian Neural Network, BNN） 是在经典神经网络中引入贝叶斯概率框架的一种扩展模型。它将网络的权重参数表示为概率分布，而不是确定性的点值，从而可以量化模型和预测结果的不确定性。

1. BNN 的核心思想

在经典神经网络中，权重是固定的点值，通过最小化损失函数（如均方误差、交叉熵）来优化权重参数。而在贝叶斯神经网络中，权重被建模为概率分布，目标是通过数据更新这些分布（即计算后验分布）。

贝叶斯定理：
$$p(\mathbf{w}|\mathcal{D})=\frac{p(\mathcal{D}|\mathbf{w})p(\mathbf{w})}{p(\mathcal{D})},$$

其中：

• $p(\mathbf{w}|\mathcal{D})$：后验分布，表示在观察数据后，权重的分布。
• $p(\mathcal{D}|\mathbf{w})$：似然函数，表示数据在给定权重下的可能性。
• $p(\mathbf{w})$：先验分布，表示我们对权重的先验假设（如权重可能是零均值的高斯分布）。
• $p(\mathcal{D})$：边际似然，通常通过积分对所有可能的权重求和：
  $$p(\mathcal{D})=\int p(\mathcal{D}|\mathbf{w})p(\mathbf{w})d\mathbf{w}.$$

2. BNN 的优化目标

BNN 的目标是计算后验分布 $p(\mathbf{w}|\mathcal{D})$。由于边际似然 $p(\mathcal{D})$ 的计算通常非常困难（涉及高维积分），我们采用近似方法来推断后验分布，例如：

1. 变分推断（Variational Inference）
   用一个简单的分布 $q(\mathbf{w}|\mathbf{\theta })$ 近似 $p(\mathbf{w}|\mathcal{D})$，并最小化 KL 散度：
   $$\mathrm{KL}(q(\mathbf{w}|\mathbf{\theta })\Vert p(\mathbf{w}|\mathcal{D})).$$

2. 蒙特卡罗方法（Monte Carlo Methods）
   使用随机采样方法（如 MCMC）直接从后验分布中采样。

3. 贝叶斯 by Backprop
   通过重参数化技巧，将变分推断和神经网络的反向传播结合。

3. BNN 的结构与特点

BNN 与经典神经网络的主要区别是权重的建模方式：

• 经典神经网络：权重是固定值（点估计）。
• 贝叶斯神经网络：权重是概率分布，表示为 $p(\mathbf{w})$。

在 BNN 中，推断网络输出时也会引入随机性：
$$p(\mathbf{y}|\mathbf{x},\mathcal{D})=\int p(\mathbf{y}|\mathbf{x},\mathbf{w})p(\mathbf{w}|\mathcal{D})d\mathbf{w}.$$

这意味着预测结果（输出 $\mathbf{y}$）不仅依赖于输入 $\mathbf{x}$，还受到权重分布的不确定性影响。

4. BNN 的训练过程

BNN 的训练过程包括以下步骤：

1. 定义先验分布：
   对权重 $\mathbf{w}$ 定义一个先验分布 $p(\mathbf{w})$，例如零均值的高斯分布：
   $$p(\mathbf{w})=\mathcal{N}(\mathbf{w}|0,{\sigma }^2).$$

2. 计算似然函数：
   定义数据的似然函数 $p(\mathcal{D}|\mathbf{w})$，例如对分类任务，通常是交叉熵损失对应的概率分布。

3. 近似后验分布：
   用 $q(\mathbf{w}|\mathbf{\theta })$ 近似 $p(\mathbf{w}|\mathcal{D})$。

   • $q(\mathbf{w}|\mathbf{\theta })$ 的参数（如均值 $\mu$ 和方差 $\sigma$）是通过优化得到的。
   • 目标是最大化变分下界：
     $$\mathcal{L}(\mathbf{\theta })={\mathbb{E}}_{q(\mathbf{w}|\mathbf{\theta })}[\log p(\mathcal{D}|\mathbf{w})]-\mathrm{KL}(q(\mathbf{w}|\mathbf{\theta })\Vert p(\mathbf{w})).$$

对最小化变分下界的理解：

1. 第一部分：对数似然的期望 $${\mathbb{E}}_{q(\mathbf{w}|\mathbf{\theta })}[\log p(\mathcal{D}|\mathbf{w})]$$

   • 作用：评估近似分布 $q(\mathbf{w}|\mathbf{\theta })$ 在训练数据 $\mathcal{D}$ 上的拟合能力。
   • 解释：从分布 $q(\mathbf{w}|\mathbf{\theta })$ 中采样权重 $\mathbf{w}$，然后计算其对应的对数似然 $\log p(\mathcal{D}|$